8 de junho de 2009
Codificando e Decifrando mensagens
A palavra criptografia tem origem grega (kripto = escondido, oculto; grapho = grafia) e define a arte ou ciência de escrever mensagens em códigos, de forma que somente pessoas autorizadas possam decifrá-las.
Operações de serviços disponíveis na internet, movimentações bancárias e outras transações eletrônicas necessitam da criptografia para comunicação confidencial de dados.
A criptografia é tão antiga quanto a própria escrita; já estava presente no sistema de escrita hieroglífica dos egípcios.
Contudo, desde aquele tempo, seu princípio básico continua o mesmo: encontrar uma transformação (função) injetiva f entre um conjunto de mensagens escritas em um determinado alfabeto (de letras, números ou outros símbolos) para um conjunto de mensagens codificadas.
O fato de f ser inversível é a garantia de o processo ser reversível e as mensagens poderem ser reveladas pelos receptores.
O grande desafio de um processo criptográfico, portanto, está em ocultar eficientemente os mecanismos (chaves) para a inversão de f, de modo que estranhos não possam fazê-lo.
| | Emissor | | Receptor | |
| Mensagem original | f | Mensagem codificada | f -1
| Mensagem original |
Descrevo aqui dois exemplos de processos criptográficos:
Inicialmente, relacionamos números ao alfabeto (o símbolo # representa um espaço em branco) que vamos utilizar nos modelos. Assim:
Inicialmente, relacionamos números ao alfabeto (o símbolo # representa um espaço em branco) que vamos utilizar nos modelos. Assim:
| # | A | B | ... | J | K | ... | W | X | Y | Z |
| 0 | 1 | 2 | | 10 | 11 | | 23 | 24 | 25 | 26 |
Portanto, cifrar uma mensagem recai no problema de permutar números por meio de uma regra f.
Pode-se fazer isso, de forma muito prática, por exemplo, através das funções afins f(x) = ax + b, com a, b inteiros, a 0, definidas no conjunto (0, 1, ..., 26).
Suponhamos que Ana e Ivo desejem trocar mensagens sigilosas utilizando o alfabeto escolhido. O primeiro passo a tomarem é definirem a função cifrada, digamos f(x) = 2x – 3.
Pode-se fazer isso, de forma muito prática, por exemplo, através das funções afins f(x) = ax + b, com a, b inteiros, a 0, definidas no conjunto (0, 1, ..., 26).
Assim, por exemplo, à mensagem, DINAH
Ana associa a sequência numérica, 4, 9, 14, 1, 8.
Mas transmitindo a sequência numérica obtida pelas imagens de f, isto é, 5, 15, 25, -1, 13.
Ao recebê-la, Ivo calculando a imagem da função inversa de f-1(x) = (x+3) / 2 nessa sequência e utilizando a correspondência alfabeto-numérica obtém a mensagem original, pois:
f-1(5) = (5+3) / 2 = 4 = D
f-1(15) = (15+3) / 2 = 9 = I
f-1(25) = (25+3) / 2 = 14 = N
f-1(-1) = (-1+3) / 2 = 1 = A
f-1(13) = (13+3) / 2 = 8 = H
O segundo método criptográfico que apresento utiliza matrizes invertíveis como chaves, o que dificulta um pouco mais sua violação. Você pode conferí-lo clicando aqui.
Tenho que frisar, os métodos trabalhados aqui têm apenas caráter instrutivo.
Na prática atual tais processos são pouco utilizados pela inconveniência de existirem trocas prévias de chaves entre os usuários. Portanto, são inviáveis na descrição de transações eletrônicas nas quais um único receptor recebe dados de milhares de emissores, como ocorre em vendas pela Internet, transações bancárias e outras. Mesmo nesses casos mais complexos, a Matemática resolveu a trama, e desta vez, no ramo da Teoria dos Números.
Na prática atual tais processos são pouco utilizados pela inconveniência de existirem trocas prévias de chaves entre os usuários. Portanto, são inviáveis na descrição de transações eletrônicas nas quais um único receptor recebe dados de milhares de emissores, como ocorre em vendas pela Internet, transações bancárias e outras. Mesmo nesses casos mais complexos, a Matemática resolveu a trama, e desta vez, no ramo da Teoria dos Números.
Bibliografia: Coleção Explorando o Ensino, Volume 3, Ministério da Educação, Brasília 2004.
Prof. Robson Alves leciona Matemática na Escola Dinah.
Veja as matérias anteriores nos arquivos.
Criação, Edição e Atualização
Paulo Antonouza
